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| Fig 1. The Deluge "El Diluvio" (Martin J, 1834) |
Apunte de clase: Pedro Rau
1. Definiciones
La Precipitación Máxima Probable (PMP) es la cantidad de precipitación más alta posible para una duración meteorológicamente viable, para una cuenca o área de drenaje, en una ubicación y en un tiempo particular del año. No se tiene en cuenta las tendencias climáticas a largo plazo (Hansen et al, 1982; WMO, 2009).
La PMP es la precipitación que se encuentra en el rango de 10^5 y 10^9 años de periodo de retorno (NRC, 1994).
La PMP es la cantidad de lluvia, cuya probabilidad de ser excedida es nula (Wang, 1984), sin embargo, existen casos donde la PMP ha sido excedida por precipitaciones en una localidad en particular, por lo cual no existe un riesgo nulo (Koutsoyiannis, 1999).
2. Consideraciones
La principal variable de análisis es la precipitación máxima anual, resultante de la precipitación máxima diaria. Debido a las discretizaciones por día efectuadas en la toma de datos por parte de las agencias del clima (i.e. SENAMHI en Peru), la variable Pmax24h (Precipitación máxima en 24 horas) requiere de una corrección. Algunos estudios recomiendan corregir la Pmax24h por un factor de 1.13 (Hershfield, 1961) o 1.167 (Dwyer y Reed, 1994).
En general el número de años de registro recomendado para cualquier estudio hidrológico es de 30 años el cual coincide con la normal climatológica de una región, esto puede variar en función del grado de influencia de la variabilidad climática en la zona de estudio, siendo posible un análisis desde 15 años de registro (Rau et al, 2017).
3. Estimación hidrometeorológica
3.1. Aproximación a un modelo de tormenta - Método de la Maximización de Humedad
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| Ecuación 1. Maximización de la humedad para la estimación de la PMP |
PMPi: Precipitación Máxima Probable en el año i
W: Agua precipitable en una columna de aire sobre el sitio de estudio en el día de la tormenta.
Wm: Agua precipitable máxima en la columna de aire anterior.
Pi: Precipitación máxima anual observada en mm en el año i
La PMP resultante será el máximo valor de la serie PMPi : Max { PMPi }
Las estimaciones de Wm y W se efectuan generalmente en función de la temperatura del punto de rocío a nivel de superficie, sin embargo, las teorías y formulaciones requieren de información de radiosondas y especialmente aplicadas al hemisferio Norte (Smith, 1966). Se puede hacer uso de la relación de Yang y Koike (2005) para la estimación del agua precipitable:
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| Ecuación 2. Relación de Yang y Koike (2005) para el agua precipitable |
RH: Humedad relativa en % en el día del evento de tormenta Pi
Ta: Temperatura del aire cerca a la superficie (°C) en el día del evento de tormenta.
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| Ecuación 3. Relación de Yang y Koike (2005) para el agua precipitable maxima |
Ta_max: Máximo de los valores de Ta históricos correspondiente al mes que ocurrió el evento de tormenta, puede calcularse como el valor asociado al periodo de retorno de 100 años de los valores máximos mensuales de Ta del mes donde ocurrió el evento Pi (WMO, 1986).
4. Estimación estadística
4.1. Método de Hershfield ajustado
Recomendado para análisis regionales, con la participación de un mínimo de 4 estaciones de precipitación.
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| Ecuación 4. Método de Hershfield ajustado |
Xn: Promedio de las precipitaciones máxima anuales (mm)
σn: Desviación estándar del registro de precipitaciones máximas anuales (mm)
km: Factor de frecuencia
Xmax: Valor de la precipitación máxima de todo el registro
Xn-1: Promedio de la serie después de excluir a Xmax
σn-1: Desviación estándar de la serie después de excluir a Xmax
Por cada estación se genera un factor de frecuencia (km), los cuales se plotean en una relación logarítmica (km vs Xn) cuya envolvente de al menos 4 puntos extremos (ver Figura 2), genera la ecuación de la forma:
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| Ecuación 5. Estimación del factor de frecuencia en una envolvente |
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| Fig 2. Ejemplo de envolvente logarítmica de la relación km vs Xn para precipitaciones máximas anuales en Cataluña, España (Casas, 2005). |
4.2. Método de Hershfield tradicional
Valido para análisis puntuales y para cuencas con una superficie máxima de 1000 km2.
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| Ecuación 6. Ecuación de Hershfield tradicional |
Xn: Promedio de las precipitaciones máxima anuales (mm)
σn: Desviación estándar del registro de precipitaciones máximas anuales (mm)
Km: Coeficiente o factor de frecuencia (ver Figura 3)
km1: Coeficiente de ajuste en la media por número de años de registro (ver Figura 4)
km2: Coeficiente de ajuste por un valor elevado en la media (ver Figura 5)
km3: Coeficiente de ajuste en la desviación estándar por número de años de registro (ver Figura 4)
km4: Coeficiente de ajuste por un valor elevado en la desviación estándar (ver Figura 6)
k1: Coeficiente de ajuste por el número de lecturas por día en el pluviómetro (ver Figura 7)
k2: Coeficiente de ajuste por transición de evento de lluvia puntual a un área (ver Figura 8)
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| Fig 3. Factor Km (Hershfield, 1965; Campos, 1998) |
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| Fig 4. Factor km1 para la media y Factor km3 para la desviación estándar, en porcentajes (Hershfield, 1965; Campos, 1998) |
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| Fig 5. Factor km2 para la media en porcentaje. Resultante de eliminar el valor más alto de la serie inicial, definiendo asi un cociente entre el nuevo promedio (Xn-m) y el promedio original (Xn). (Hershfield, 1965; Campos, 1998) |
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| Fig 6. Factor km4 para la desviación estándar en porcentaje. Resultante de eliminar el valor más alto de la serie inicial, definiendo así un cociente entre la nueva desviación estándar (Sn-m) y la desviación estándar original (Sn). (Hershfield, 1965; Campos, 1998) |
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| Fig 7. Factor k1 en porcentaje. Ajuste por intervalo fijo de medición (Weiss, 1964; Campos, 1998). |
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| Fig 8. Factor k2 en porcentaje. Curvas Área de Cuenca y la reducción asociada para la PMP |
5. Incertidumbre en la PMP
Se sugieren el empleo de criterios que consideren el análisis de incertidumbre para el cálculo determinístico de la PMP y para la relación de Hershfield. Micovic et al. (2015) identifica 5 fuentes de incertidumbre a manera de funciones de verosimilitud en base a un análisis hidrometeorológico a través de la siguiente formulación:
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| Ecuación 7. Factores de incertidumbre |
PMP24: Precipitación Máxima Probable para eventos de 24h derivado de un análisis hidrometeorológico
P24C: Precipitación máxima ocurrida en el evento de tormenta de control en el lugar donde se registró
FMM: Maximización de la humedad en el lugar y ajuste del punto de rocío máximo en la superficie del lugar de interés
FMHT: Factor de transposición horizontal que explica el cambio en la máxima humedad atmosférica desde el lugar donde se observó la tormenta al centroide de la cuenca de interés
FSC: Factor para centrar la tormenta en el centroide de la cuenca para producir la máxima precipitación promedio de la cuenca en relación con la precipitación para la tormenta centrada
FSE: Factor de eficiencia de tormenta.
Salas et al (2014) propone límites de probabilidad (P) para la relación de Hershfield.
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| Ecuación 8. Límites de probabilidad para la relación de Hershfield |
^P: Estimador de la PMP
c>1 y entero
De esta forma, la media y la desviación estándar del estimador de la PMP (^P) quedan afectados por un factor entero “c” mediante la desigualdad de Chebyshev. El procedimiento de cálculo se encuentre en Salas et al (2014), en donde se define la ecuación 9 para el valor esperado del estimador de la PMP, el cual emplea la función gamma incompleta Г con n (el # de datos) como argumento.
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| Ecuación 9. Valor esperado del estimador de la PMP. |
y su desviación estándar, que para una distribución normal quedaría representado por la ecuación 10. Para otras distribuciones se recomienda profundizar en dicha publicación.
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| Ecuación 10. Desviación estandar del estimador de la PMP. |
K: Factor de frecuencia
Algunas propiedades de la función gamma en factoriales:
Г(n) = (n-1)!
Г(n+1) = nГ(n)
Г(1/2) = √π
Referencias:
- Campos A. 1998. Procesos del Ciclo. Hidrológico. Tercera Reimpresión. Universidad Autónoma de San Luis Potosí. Facultad de Ingeniería. San Luis Potosí, Mexico.
- Casas C. 2005. Análisis espacial y temporal de las lluvias extremas en Catalunya: modelización y clasificación objetiva. Universitat de Barcelona. Tesis Doctoral, Barcelona. España.
- Dwyer IJ, Reed DW. 1994: Effective fractal dimension and corrections to the mean of anual maxima. Journal of Hydrology, 157, 13-34.
- Hansen EM, Schreiner LC, Miller JF. 1982. Application of Probable Maximum Precipitation Estimates. United States East of the 105th Meridian (HMR- 52), NOAA, National Weather Service, Silver Springs, MD, 168 pp.
- Hershfield DM. 1961. Rainfall frequency atlas of the United States for durations from 30 minutes to 24 hours and return periods from 1 to 100 years. Weather Bureau Technical Paper 40, U.S. Weather Bureau, Washington, D.C., 115 pp.
- Hershfiel DM. 1965.Method for estimating probable maximum rainfall. Journal American Water Works Association, 965-972.
- Koutsoyiannis D. 1999. A probabilistic view of Hershfield's method for estimating probable maximum precipitation. Water Resources Research, 35(4), 1313-1322.
- Micovic Z, Schaefer MG, Taylor G H. 2015. Uncertainty analysis for Probable Maximum Precipitation estimates, Journal of Hydrology, 521, 360–373.
- National Research Council. 1994. Estimating bounds on extreme precipitation events. National Academy Press, Washington.
- Rau P, Bourrel L, Labat D, Melo P, Dewitte B, Frappart F, Lavado W, Felipe O. 2017. Regionalization of rainfall over the Peruvian Pacific slope and coast. International Journal of Climatology 37(1):143-158.
- Salas JD, Gavilán G, Salas FR, Julien PY, Abdullah J. 2014. Uncertainty of the PMP and PMF, in: Handbook of Engineering Hydrology. Vol. 2: Modeling, Climate Change and Variability, 575–603.
- Smith WL. 1966. Note on the relationship between total precipitable water and surface dew point. Journal of Applied Meteorology, 5(5), 726-727.
- Wang BHM. 1984. Estimation of probable maximum precipitation: case studies. Journal of Hydraulic Engineering, 110 (10): 1457-1472.
- Weiss LL. 1964. Ratio of True Fixed-Interval Maximum Rainfall. Proceedings of the ASCE. Journal of Hydraulics Division, 90. Hy1. 77-82.
- World Meteorological Organization WMO. 1986. Manual for Estimation of Probable Maximum Precipitation, Operational Hydrology Report 1, 2nd edition, Publication 332, World Meteorological Organization, Geneva.
- Yang K, Koike T. 2005. A general model to estimate hourly and daily solar radiation for hydrological studies. Water Resources Research 41:W10403, doi:10.1029/2005WR003976.
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